x; y; z > 0 sastisfied x+y+z = 3. prove: 1/ x^2 + 1/b^2 + 1/c^2 >= x^2 + y^2+ z^2.
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
9 tháng 6 2017
Sửa đề \(\dfrac{\left(x+1\right)\left(y+1\right)^2}{3\sqrt[3]{x^2z^2}+1}+\dfrac{\left(y+1\right)\left(z+1\right)^2}{3\sqrt[3]{x^2y}+1}+\dfrac{\left(z+1\right)\left(x+1\right)^2}{3\sqrt[3]{y^2z^2}+1}\)
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(\dfrac{\left(x+1\right)\left(y+1\right)^2}{3\sqrt[3]{x^2z^2}+1}=\dfrac{\left(x+1\right)\left(y+1\right)^2}{3\sqrt[3]{x\cdot z\cdot xz}+1}\ge\dfrac{\left(x+1\right)\left(y+1\right)^2}{x+z+xz+1}\)
\(=\dfrac{\left(x+1\right)\left(y+1\right)^2}{\left(x+1\right)\left(z+1\right)}=\dfrac{\left(y+1\right)^2}{z+1}\)
Tương tự cho 2 BĐT còn lại ta cũng có:
\(\dfrac{\left(y+1\right)\left(z+1\right)^2}{3\sqrt[3]{x^2y^2}+1}\ge\dfrac{\left(z+1\right)^2}{x+1};\dfrac{\left(z+1\right)\left(x+1\right)^2}{3\sqrt[3]{y^2z^2}+1}\ge\dfrac{\left(x+1\right)^2}{y+1}\)
Cộng theo vế 3 BĐT trên rồi áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có:
\(VT\ge\dfrac{\left(x+y+z+3\right)^2}{x+y+z+3}=x+y+z+3=VP\)
16 tháng 10 2016
a. vô nghiệm vì tổng hai số dương chỉ bằng ko khi chúng đồng thời bằng 0
b. tổng 3 số dưng =0 khi dồng thời cả 3 bằng 0
vậy x=1; y=-1; z=1
c.tổng 3 số dưng luông lớn hơn bằng ko
vậy x=1/3; y=2; z=1
d tương tự
x-z=0
x+y=0
z+1/4=0
.............
z=-1/4
x=-1/4
y=1/4
Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng cộng mẫu thức , ta có :
\(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}\ge\frac{\left(1+1+1\right)^2}{x^2+y^2+z^2}=\frac{9}{x^2+y^2+z^2}\)
Giờ ta cần chỉ ra được \(\frac{9}{x^2+y^2+z^2}\ge x^2+y^2+z^2\)thì bài toán sẽ được hoàn tất phép chứng minh
Thật vậy , biến đổi tương đương : \(9\ge\left(x^2+y^2+z^2\right)< =>x^2+y^2+z^2\le3\)
dễ rồi nhỉ